Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II

Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel L⊗M ; on note ces topologies par L⊗ λ M, où λ est l’une des 5 lettres τ,γ,β,π,ε. Soient alors L,M,U,V, 4 espaces vectoriels quasi-complets.Pour ξ∈L⊗ ^ λ U, η∈M⊗ ^ ε V, on peut définir “un produit croisé”Γμ,λ(ξ,η)∈(L⊗^μM)⊗^ε(U⊗^λV),dont on étudie systématiquement les propriétés.Plus généralement si ϕ,χ,ψ,ω, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour ξ∈L⊗ ^ ϕ U, η∈M⊗ ^ χ V, un produit croisé appartenant à (L⊗ ^ ψ M)⊗ ^ ε (U⊗ ω V).Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.Soient E,F,G, 3 espaces de Banach, et soit B une application bilinéaire continue de E×F dans G. Soient d’autre part ℋ,????,ℒ, 3 espaces de distributions, et soit U une application bilinéaire hypocontinue (S·T)→S∪T de ℋ×ℋ dans ℒ (par exemple le produit scalaire S·T si ????=ℋ ′, ℒ= corps des scalaires ; le produit multiplicatif si ℋ=???? ′, ????=???? M ′ ℒ=???? ′ ; le produit de convolution si ℋ=???? ′, ????=???? c ′ ′ ℒ=????. Alors, si l’espace ℋ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé S → ∪ B T → ∈ℒ(G), pour ???? → ∈ℋ(E), T → ∈ℋ(F) ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.