On minimal laminations of the torus

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Abstract
We investigate functions u: \mathbf R^n → \mathbf R which minimize a variational integral \int \mathrm{F}(x,\:u(x),u_{x}(x))dx where \mathrm F: \mathbf R^n × \mathbf R × \mathbf R^n → \mathbf R is periodic in (x, u) \in \mathbf R^{n + 1} and uniformly convex in u_x \in \mathbf R^n . We restrict attention to non-selfintersecting minimizers u , i.e. we require that the hypersurface graph (u) ⫅ \mathbf R^{n + 1} does not have selfintersections when projected into \mathbf{R}^{n\: + \:1}/ \mathbf{Z}^{n\: + \:1} . For such u there exists a “rotation vector” α = α(u) \in \mathbf{R}^{n} such that u(x) - α·x is bounded. Our main result determines the structure of the set of non-selfintersecting minimizers with fixed commensurable rotation vector α . The are classified by secondary invariants. The projected graphs of the with certain types of secondary invariants form foliations or laminations (i.e. foliations with gaps) of \mathbf{R}^{n\: + \:1}/ \mathbf{Z}^{n\: + \:1} . Résumé: On étudie des fonctions u: \mathbf R^n → \mathbf R qui minimisent une intégrale variationelle \int \mathrm{F}(x,\:u(x),\:u_{x}(x))dx où \mathrm{F}:\mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^{n}\rightarrow \mathbf{R} est périodique en (x,\:u) \in \mathbf{R}^{n + 1} et uniformément convexe en u_{x} \in \mathbf{R}^{n} . On s’intéresse aux u pour lesquelles la projection du graphe de u dans \mathrm{T}^{n + 1} = \mathbf{R}^{n + 1}/ \mathbf{Z}^{n + 1} est l’image d’une immersion injective. Cette condition implique que u(x)−α \cdot x soit bornée pour un α = α(u) \in \mathbf{R}^{n} . Cet α est appelé vecteur de rotation de u . Le résultat principal détermine la structure de l’ensemble formé des minimales à vecteur de rotation α commensurable. Les sont classifiées par des invariants secondaires. Après projection dans T^{n + 1} les graphes des à invariants secondaires d’un certain type forment soit un feuilletage de T^{n + 1} soit une «lamination» ( = feuilletage à creux) de T^{n + 1} .

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