Torsion Subgroups of CM Elliptic Curves over Odd Degree Number Fields:

Let $\mathscr{G}_{\operatorname{CM}}(d)$ denote the collection of groups (up to isomorphism) that appear as the torsion subgroup of a complex multiplication (CM) elliptic curve over a degree $d$ number field. We completely determine $\mathscr{G}_{\operatorname{CM}}(d)$ for odd integers $d$ and deduce a number of statistical theorems about the behavior of torsion subgroups of CM elliptic curves. Here are three examples: (1) For each odd $d$ , the set of natural numbers $d'$ with $\mathscr{G}_{\operatorname{CM}}(d')=\mathscr{G}_{\operatorname{CM}}(d)$ possesses a well-defined, positive asymptotic density. (2) Let $T_{\operatorname{CM}}(d) = \max_{G \in \mathscr{G}_{\operatorname{CM}}(d)} \#G$ ; under the Generalized Riemann Hypothesis, <mml:math display="block"><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn><mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:munder><mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim sup</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="1"><mml:mtable rowspacing="0.1em" columnspacing="0em" displaystyle="false"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mtext>odd</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mstyle></mml:munder><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>CM</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>log</mml:mi><mml:mo>⁡</mml:mo><mml:mi>log</mml:mi><mml:mo>⁡</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>24</mml:mn><mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:msup></mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>(12eγπ)2/3≤lim supd→∞doddTCM(d)(dlog⁡log⁡d)2/3≤(24eγπ)2/3. (3) For each $\epsilon > 0$ , we have $\#\mathscr{G}_{\operatorname{CM}}(d) \ll_{\epsilon} d^{\epsilon}$ for all odd $d$ ; on the other hand, for each $A> 0$ , we have $\#\mathscr{G}_{\operatorname{CM}}(d) > (\log{d})^A$ for infinitely many odd $d$ .