Lower semicontinuity of L∞ functionals

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Abstract
We study the lower semicontinuity properties and existence of a minimizer of the functional F\left(u\right) = \operatorname{ess}\sup \limits_{x \in \Omega }f\left(x,u\left(x\right),Du\left(x\right)\right) on W^{1,∞}(Ω;ℝ^m) . We introduce the notions of Morrey quasiconvexity, polyquasiconvexity, and rank-one quasiconvexity, all stemming from the notion of quasiconvexity (= convex level sets) of f in the last variable. We also formally derive the Aronsson–Euler equation for such problems. Résumé: On examine les propriétés de semi-continuité inférieure et l’existence du minimizeur de la fonctionnelle F\left(u\right) = \operatorname{ess}\sup \limits_{x \in \Omega }f\left(x,u\left(x\right),Du\left(x\right)\right) sur W^{1,∞}(Ω;ℝ^m) . On introduit les idées du quasi-convexité de Morrey, du polyquasi-convexité, et du quasi-convexité du rang-un, qui suivent tous de l’idée de quasi-convexité ( = les ensembles à niveau convexes) de f à la dernière variable. En plus, on en déduit dans les formes l’équation d’Aronsson–Euler pour de tels problèmes.
Funding Information
  • National Science Foundation (DMS-9970549)
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