Mathematical modelling and numerical simulation of elastic wave propagation in soft tissues with application to cardiac elastography

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Abstract
Modélisation mathématique et simulation numérique de la propagation d'ondes élastiques dans les tissus mous avec application à l'élastographie cardiaque: Les objectifs de cette thèse sont la modélisation mathématique et la simulation numérique de l’élastographie impulsionnelle basée sur la force de radiation acoustique (FRA) dans un tissu mou précontraint, et en particulier le myocarde. La première partie du manuscript concerne la modélisation mathématique de la FRA, la propagation d’ondes de cisaillement qui en résulte et la caractérisation de la vitesse des ondes de cisaillement pour une loi de comportement générale du tissu myocardique. Nous montrons aussi des applications pour l’estimation de l’orientation des fibres cardiaques dans le myocarde et l’évaluation de “pathologies synthétiques ”. Une des contributions principales de ce travail est le développement d’un modèle mathématique original de la FRA. En particulier, à partir d’un modèle biomécanique tridimensionnel du coeur, nous obtenons, à travers une approche asymptotique, les équations qui régissent les champs de pression et de cisaillement induits par la FRA. De plus, nous calculons une expression analytique du terme source responsable de la génération des ondes de cisaillement à partir d’une impulsion acoustique en pression. Dans la deuxième partie de la thèse, nous proposons des outils numériques efficaces pour une simulation numérique réaliste d’une expérience d’élastographie impulsionnelle dans un tissu quasi-incompressible, précontraint et fibré. La discrétisation en espace se base sur des éléments finis spectraux d’ordre élevé. Pour la discrétisation en temps, nous proposons une nouvelle méthode adaptée à l’élasticité incompressible. En particulier, seuls les termes correspondant à des vitesses infinies, associés à la contrainte d’incompressibilité, sont traités implicitement, à travers la resolution d’un problème de Poisson à chaque pas de temps de l’algorithme. En outre, nous proposons une nouvelle méthode d’ordre élevé et efficace pour la résolution d’un problème de Poisson, qui se base sur la transformée de Fourier discrète.

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