Nombres de Bell et somme de factorielles

Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, p, la somme ∑ n=0 p-1 n! n’est pas divisible par p. Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du n-ième nombre de Bell modulo p comme la trace de la puissance n-ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré p du corps premier à p éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.