Analysis, control and optimization of PDEs, application to the biology and therapy of cancer

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Abstract
Analyse, contrôle et optimisation d'EDP, application à la biologie et la thérapie du cancer: Cette thèse a pour origine un projet sur l'optimisation de la chimiothérapie, rassemblant trois directeurs: Jean Clairambault, médecin et mathématicien, Michèle Sabbah, biologiste du cancer, et Emmanuel Trélat, mathématicien spécialisé en contrôle optimal. Ainsi, l'essentiel du travail a été motivé par des questions provenant de la biologie ou la thérapie du cancer. Y répondre a nécessité l'utilisation et le développement d'outils empruntés à diverses disciplines mathématiques, parmi lesquelles l'analyse asymptotique d'équations aux dérivées partielles, leur contrôle optimal théorique et numérique. Ces développements ont posé de nouveaux problèmes mathématiques intéressants en eux-mêmes, avec des applications en dynamique adaptative, dynamique des populations, contrôle optimal ou encore analyse numérique. Plus précisément, nous proposons des résultats d'analyse asymptotique pour certaines équations ou systèmes de sélection/mutation et réaction/diffusion non-locaux. Le contrôle Dirichlet des équations monostable et bistable 1D est étudié dans le détail. On considère l'étude numérique et théorique d'un problème de contrôle optimal pour un système représentant des cellules saines et cancéreuses soumises à de la chimiothérapie. Enfin, l'existence d'instabilités de Turing pour un système de Keller-Segel est prouvée. Pour ces équations, nous développons des schémas numériques aux volumes finis qui préservent la positivité, la dissipation de l'énergie, la conservation de la masse et les états stationnaires.

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