Overlaps, eigenvalue gaps, and pseudospectrum under real Ginibre and absolutely continuous perturbations

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Abstract
Soit Gn une matrice n×n avec des entrées réelles i.i.d. N(0,1/n), soit A une matrice réelle n×n avec ‖A‖≤1 et γ∈(0,1). Nous montrons qu’avec une probabilité de 0,99, A+γGn a tous ses conditionnements de valeurs propres bornés par O(n5/2/γ3/2) et son conditionnement de vecteurs propres borné par O(n3/γ3/2). De plus, nous montrons que pour tout s>0, la probabilité que A+γGn ait deux valeurs propres à une distance maximale de s l’une de l’autre est de O(n4s2/7/γ5/2). En fait, nous montrons que les énoncés ci-dessus sont valables dans le cadre plus général des perturbations non gaussiennes avec des entrées réelles, indépendantes et absolument continues, sous l’hypothèse de moment fini et d’une normalisation appropriée. Ceci étend le travail précédent (Banks et al. (2019)) qui a prouvé une borne du conditionnement de vecteur propre de O(n3/2/γ) pour le cas plus simple de perturbations matricielles gaussiennes i.i.d. complexes. Le cas des perturbations réelles introduit plusieurs défis découlant des propriétés d’anti-concentration plus faibles des variables aléatoires réelles par rapport aux variables aléatoires complexes. Un ingrédient clé de notre preuve est une nouvelle borne inférieure de la queue des petites valeurs singulières des déplacements complexes z−(A+γGn), qui caractérise le comportement de la queue de l’ensemble de Ginibre complexe lorsque ℑ(z)≠0. Cela permet un contrôle précis de l’aire du pseudospectre Λϵ(A+γGn) en termes de paramètre pseudospectral ϵ>0, ce qui est suffisant pour borner les chevauchements et le conditionnement du vecteur propre grâce à un argument de limite.

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