Ester Mariucci

Nous nous intéressons à l'équivalence asymptotique, au sens de Le Cam, entre différents modèles statistiques. Plus précisément, nous avons exploré le cas de modèles statistiques associés à l'observation discrète de processus à sauts ou de diffusions unidimensionnelles, ainsi que des modèles à densité plus classiques.Ci-dessous, nous présentons brièvement les différents chapitres de la thèse.Nous commençons par présenter tous nos résultats dans un premier chapitre introductif. Ensuite, dans le Chapitre 2 nous rappelons les points clés de la théorie de Le Cam sur les expériences statistiques en se plaçant dans un contexte non paramétrique.Les Chapitres 3 et 4 traitent de l'équivalence asymptotique pour des modèles statistiques associés à l'observation discrète (haute fréquence) de processus à sauts. Dans un premier temps nous nous focalisons sur un problème d'équivalence en ce qui concerne l'estimation de la dérive, supposée appartenir à une certaine classe fonctionnelle. Il s'avère (Chapitre 3) qu'il y a une équivalence asymptotique, en ce qui concerne l'estimation de la dérive, entre le modèle statistique associé à l'observation discrète d'un processus additif X et le modèle statistique gaussien associé à l'observation discrète de la partie continue de X.Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés au problème de l'estimation non paramétrique de la densité de Lévy f relative à un processus de Lévy à sauts purs, Y. Le Chapitre 4 illustre l'équivalence asymptotique, en ce qui concerne l'estimation de f, entre le modèle statistique associé à l'observation discrète de Y et un certain modèle de bruit blanc gaussien ayant sqrt f comme dérive.Le Chapitre 5 présente une extension d'un résultat bien connu sur l'équivalence asymptotique entre un modèle à densité et un modèle de bruit blanc gaussien.Le Chapitre 6 étudie l'équivalence asymptotique entre un modèle de diffusion scalaire avec une dérive inconnue et un coefficient de diffusion qui tend vers zéro et le schéma d'Euler correspondant.Dans le Chapitre 7 nous présentons une majoration en distance L1 entre les lois de processus additifs.Le Chapitre 8 est consacré aux conclusions et discute des extensions possibles des travaux de thèse.

We propose non-asymptotic controls of the cumulative distribution function , for any , and any Lévy process X such that its Lévy density is bounded from above by the density of an -stable-type Lévy process in a neighborhood of the origin.

It is common practice to treat small jumps of Lévy processes as Wiener noise and to approximate its marginals by a Gaussian distribution. However, results that allow to quantify the goodness of this approximation according to a given metric are rare. In this paper, we clarify what happens when the chosen metric is the total variation distance. Such a choice is motivated by its statistical interpretation; if the total variation distance between two statistical models converges to zero, then no test can be constructed to distinguish the two models and they are therefore asymptotically equally informative. We elaborate a fine analysis of a Gaussian approximation for the small jumps of Lévy processes in total variation distance. Non-asymptotic bounds for the total variation distance between n discrete observations of small jumps of a Lévy process and the corresponding Gaussian distribution are presented and extensively discussed. As a byproduct, new upper bounds for the total variation distance between discrete observations of Lévy processes are provided. The theory is illustrated by concrete examples.

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Suppose that a compound Poisson process is observed discretely in time and assume that its jump distribution is supported on the set of natural numbers. In this paper we propose a nonparametric Bayesian approach to estimate the intensity of the underlying Poisson process and the distribution of the jumps. We provide a Markov chain Monte Carlo scheme for obtaining samples from the posterior. We apply our method on both simulated and real data examples, and compare its performance with the frequentist plug‐in estimator proposed by Buchmann and Grübel. On a theoretical side, we study the posterior from the frequentist point of view and prove that as the sample size n→∞, it contracts around the “true,” data‐generating parameters at rate , up to a factor.