Sergei Aleksandrovich Nazarov

Исследуется спектр задачи теории упругости для изотропного и однородного сектора слоя со скошенными боковыми гранями. Отыскивается точка отсечки существенного спектра смешанной краевой задачи - условия Дирихле назначаются на одном или двух основаниях сектора, т.е. имитируется угловая точка тонкой накладки (закреплено нижнее основание), приклеенной к абсолютно жесткому основанию, или прослойки между двумя абсолютно жесткими штампами (закреплены оба основания). Точка отсечки определяется минимальным собственным числом некоторой двумерной смешанной краевой задачи теории упругости в полубесконечной полосе со скошенным торцом, зависящей от двойственной переменной преобразования Фурье - приведены известные и доказаны новые результаты о спектре этой задачи, но также сформулированы открытые вопросы. Особенно подробно изучены модельные антиплоская (скалярная) и плоская (векторная) задачи теории упругости в полубесконечной полосе - продемонстрировано несколько приемов выявления собственных чисел в дискретных спектрах и выяснения их свойств (монотонность зависимости от угла, асимптотика в предельных случаях и т.п.), однако для векторной задачи многие сопутствующие вопросы осталась открытыми. Проверка формулы для точки отсечки существенного спектра осуществляется по обычной схеме: построение сингулярной последовательности Вейля выше этой точки и регуляризатора оператора задачи (параметрикса) строго ниже точки. При некоторых дополнительных условиях обнаружены точки дискретного спектра трехмерной задачи при помощи построения специальной пробной вектор-функции в минимальном принципе, отслеживающем нижнюю грань всего спектра. Библиография: 72 названия.

Изучен спектр задачи Дирихле для оператора Лапласа в тонкостенной области, имеющей форму прямого граненого стакана с правильным многоугольником в основании. Найдены ограничения на относительную толщину донышка, обеспечивающие локализацию нескольких первых собственных функций около вершин многоугольного основания.

Several problems of mathematical physics for an angular junction of two thin rectangles, for example, beams, plates, or channels, are considered. Relying on an asymptotic analysis of all problems, we derive their one-dimensional models involving transmission conditions at the corner point where the segments, that is, the midlines of the rectangles with derived limiting ordinary differential equations of the models, meet each other. Among the obtained transmission conditions, we detect classical, weighted, and modified Kirchhoff ones, but the transmission conditions in the elasticity problem of deformation of an angular beam turns out to be nonstandard, namely, constrained due to the Dirichlet conditions for transverse displacements. The reasons for the formation of various structures of transmission conditions and their relationship with the energy functional of the original problem are explained. Miscellaneous examples are given.

We study the asymptotics of eigenvalues and eigenfunctions of the spectral problem for the Laplace operator in a planar domain with the third boundary condition on the boundary, where the (variable) Robin coefficient is negative and large. Known and new asymptotic formulas are presented for both negative and positive eigenvalues and for eigenfunctions, revealing various types of their localization. In addition to the formal asymptotic analysis and a brief review of earlier results, a procedure is described for justifying the asymptotics in the previously unexplored case of a constant Robin coefficient and a global degenerate maximum of the boundary curvature realized at several points.

Производится осреднение тонкой сетки квантовых волноводов с мелкими узелками-утолщениями (задача Дирихле для оператора Лапласа). В отличие от задачи с краевыми условиями Неймана нижний, но удаленный от начала координат диапазон спектра задачи Дирихле характеризуется локализацией соответствующих собственных функций около зон угловых соединений перемычек или на самих перемычках в зависимости от расположения собственных чисел в (обязательно непустых) дискретных спектрах модельных задач о сочленении полубесконечных цилиндрических квантовых волноводов разных форм. Поведение собственных чисел и функций в среднечастотном диапазоне спектра сетки существенно зависит от явления порогового резонанса в упомянутых сочленениях, а также от отношения между малыми параметрами - периода расположения узелков и их диаметра, сравнимого по порядку, но превосходящего диаметр перемычек. Разобраны конкретные ситуации (прямоугольные и круговые сечения) и сформулированы открытые вопросы. Библиография: 56 наименований.

The asymptotic behavior of the eigenvalues of the Neumann problem for a second-order elliptic equation in a thin finite cylinder with a periodic family of fine resonators (an acoustic waveguide with rigid walls) is studied. The main purpose is to construct an asymptotics of the coefficient in the homogenized differential operator. Its principal term does not depend on the shape of the resonators, but the first correction term includes the polarization coefficient of an infinite cylinder with a resonator of unit size. Properties of the polarization coefficient are studied, which is defined as the constant in the expansion of a linearly growing solution of the homogeneous problem in the perturbed cylinder at infinity. The obtained asymptotic expansions are substantiated by using a refined one-dimensional model and Poincaré’s asymptotically exact inequalities.

The spectral Dirichlet problem in a thin-walled cylinder with a periodic family of cross-walls that are perpendicular to the cylinder generatrix is considered. An asymptotic analysis of the problem establishes the existence of open gaps in the waveguide spectrum and yields the positions and lengths of the spectral bands. For cross-walls of different relative thicknesses, the eigenfunctions of a model problem on the periodicity cell with a Floquet parameter exhibit different types of localization. Namely, traveling waves concentrate at the cross-walls (large thickness) or near their edges (small thickness). The results are obtained by applying various procedures for dimension reduction and analysis of a boundary layer developing near the joints between the cross-walls and the cylinder. The boundary layer is described by the Dirichlet problem in a planar T-shaped junction of a unit strip and a perpendicular half-strip of different thickness. The localization manner is determined by whether or not the last problem has a discrete spectrum.

Изучается асимптотическое поведение собственных чисел задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка на тонком конечном цилиндре с периодическим семейством мелких резонаторов (акустический волновод с жесткими стенками). Основная цель - построение асимптотики коэффициента в осредненном дифференциальном операторе. Ее главный член не зависит от формы резонаторов, но первый поправочный член включает коэффициент поляризации бесконечного цилиндра с резонатором единичного размера. Изучены свойства коэффициента поляризации, который определяется как постоянная в разложении на бесконечности линейно растущего решения однородной задачи в возмущенном цилиндре. Обоснование найденных асимптотических разложений проводится при помощи образования уточненной одномерной модели и использовании асимптотически точных неравенств Пуанкаре. Библиография: 20 названий.