Viktor P. Legeza

Розв’язано актуальну задачу дослідження процесу переслідування втікача, який здійснює втечу за брахіс- тохронною траєкторією у плоскому векторному полі. Брахістохронна траєкторія втікача визначалась за допомогою варіаційних методів, виходячи з критерію мінімуму часу, витраченого на переміщення між стартовою і фінішною точками. Крім того, оптимальність вибору фінішної точки розглядалась в сенсі максимального переміщення втікача по горизонталі в напрямку «лінії життя». Припускалося, що переслідувач в кожен момент часу намагається рухатися по миттєвій лінії, яка візуально з’єднує дві поточні точки (його і втікача) на горизонтальній площині, тобто переслідувач під час переслідування «тримає курс на втікача». Мета втікача – просунутися якомога далі в напрямку «лінії життя» до моменту його перехоплення переслідувачем, обираючи оптимальну фінішну точку на «лінії життя». В свою чергу, переслідувач намагається наздогнати втікача до того, як той встигне досягти певної точки, яка знаходиться на «лінії життя». Для дослідження процесу переслідування була побудована математична модель у вигляді системи чотирьох диференціальних рівнянь першого порядку. Розроблено метод числового розв’язання отриманої системи рівнянь, який дозволив визначити рівняння оптимальної траєкторії втечі. На основі числового аналізу з’ясовано вплив параметрів процесу переслідування на форму кривих переслідування і втечі. Встановлено залежність зміни горизонтального переміщення втікача в сторону «лінії життя» до моменту його захоплення в залежності від вибору фінішної точки на «лінії життя». Показано, що ця залежність має чітко виражений локальний максимум, який свідчить про існування певної фінішної точки на «лінії життя», яка забезпечує втікачу можливість досягти максимального просування по горизонталі в бік «лінії життя» до моменту перехоплення.

This article introduces a novel variational approach for solving the inverse geodesic problem on a transcendental surface shaped as a cylindrical structure with a cycloidal generatrix, a type of geometry that has not been previously studied in this context. Unlike classical models that rely on symmetric surfaces such as spheres or spheroids, this method formulates the geodesic path as a functional minimization problem. By applying the Euler–Lagrange equation, an analytical integration of the corresponding second-order differential equation is achieved, resulting in a parametric expression that satisfies boundary conditions. The effectiveness of the proposed method for computing geodesic curves on transcendental surfaces has been rigorously evaluated through a series of numerical experiments. Analytical validation has been carried out using MathCad, while simulation and three-dimensional visualization have been implemented in Python. Numerical experiments are conducted and 3D visualizations of the geodesic lines are presented for multiple point pairs on the surface, demonstrating the accuracy and computational efficiency of the proposed solution. This enables a closed-form analytical representation of the geodesic curve, significantly reducing computational complexity compared to existing numerical-heuristic methods. The obtained results offer clear advantages over existing studies in the field of computational geometry and variational calculus. Specifically, the proposed method enables the construction of geodesic curves on complex transcendental surfaces where traditional methods either fail or require intensive numerical approximation. The analytical integration of geodesic equations enhances both accuracy and performance, achieving an average computational cost reduction of approximately 27-30% and accuracy improvement of around 20% in comparison with previous models utilizing non-polynomial metrics. These enhancements are especially relevant in applications requiring real-time response and precision, such as robotics, CAD systems, computer graphics, and virtual environment simulation. The method’s ability to deliver compact and exact solutions for boundary value problems positions it as a valuable contribution for both theoretical and applied sciences.

Background. A new approach to the construction, integration and analysis of the differential equation of the pursuit curve in the classical problem of intercepting a fugitive on the plane is considered. In the proposed wording, it is new and relevant from a practical point of view in such areas as transport, logistics, military affairs, sports events, etc. Objective. The purpose of the work is to determine the optimal angle of inclination of the straight line along which the fugitive should move in order to get as close as possible to the "life" line before being caught by the pursuer. Methods. To achieve the goal, classical methods of integrating differential equations in parametric form were used, as well as graphic and numerical tools provided by the MathCad software package. Results. The differential equation of the pursuit curve is formulated and its solution in closed parametric form is established. Its numerical analysis was carried out and the influence of the parameters (ratio of speeds of the pursuer and the fugitive) and on the behaviour of the pursuit curve was investigated. The dependence of the change in the distance along the horizontal axis at the moment of apprehension of the fugitive, depending on the magnitude of the angular coefficient of the straight line of his movement at a fixed coefficient , was analysed. Conclusions. As a result of the research, it was found that if the coefficient (that is, the speed of the pursuer significantly exceeds the speed of the fugitive), then the distance at which the latter will be detained goes to zero. On the other hand, if (that is, the speeds of the boats are equal), then the specified distance goes to infinity, that is, the fugitive will not be apprehended. The dependence of the change of the distance along the horizontal axis on the coefficient has a well-defined local maximum under the condition , which indicates that there is a certain non-zero angle of inclination of the direct flight, which enables the fugitive to achieve the maximum movement towards the border between the two countries. Thus, we observe a paradoxical phenomenon: for a successful escape, the strategy of choosing an angle of inclination of a straight line equal to zero (that is, moving along the shortest segment connecting two parallel lines) is not correct.