Yanbo Fang

Etudes de fibrés en droites semipositivement metrisés sur un corps non-archimédien via la convexité holomorphe: Ce mémoire de thèse est consacré à l'étude de fibré en droites semipositif en géométrie analytique non-Archimédienne, par un point de vue d'analyse fonctionnelle sur un corps ultramétrique en exploitant la géométrie de la convexité holomorphe. Le premier chapitre recueille quelques préliminaires pour l'algèbre de Banach sur un corps ultramétrique et la géométrie de son spectre au sens de Berkovich, le cadre dans lequel l'étude est effectuée. Le deuxième chapitre présente la construction de base, qui encode la géométrie intervenante dans certaines algèbres de Banach. On associe une algèbre normée de section à un fibré en droites métrisé. On décrit son spectre, en le reliant avec le fibré en disques unités duals de ce fibré en droites muni de la métrique enveloppante. On encode alors la positivité métrique par la convexité holomorphe. Le troisième chapitre consiste en deux approches indépendantes pour le problème d'extension métrique de sections restreintes sur une sous-variété fermée. On obtient une borne supérieure pour la distorsion métrique asymptotique, qui est uniforme par rapport aux choix de sections restreintes. On utilise une propriété particulière aux normes affinoïdes pour obtenir cette inégalité. Le quatrième chapitre traite le problème de la régularité de métrique enveloppante. Avec un nouveau regard venant d'analyse holomorphe à plusieurs variables, on vise à montrer que, quand le fibré en droites est ample, la métrique enveloppante est continue si la métrique de départ l’est. On suggère une méthode tentative reposant sur un analogue non archimédien spéculatif d'un résultat sur la convexité holomorphe due à Cartan et Thullen.

Let X be a smooth projective variety over a complete discretely valued field of mixed characteristic. We solve non-Archimedean Monge–Ampère equations on X assuming resolution and embedded resolution of singularities. We follow the variational approach of Boucksom, Favre, and Jonsson proving the continuity of the plurisubharmonic envelope of a continuous metric on an ample line bundle on X. We replace the use of multiplier ideals in equicharacteristic zero by the use of perturbation friendly test ideals introduced by Bhatt, Ma, Patakfalvi, Schwede, Tucker, Waldron, and Witaszek building upon previous constructions by Hacon, Lamarche, and Schwede.

Let X be a smooth projective variety over a complete discretely valued field of mixed characteristic. We solve non-archimedean Monge-Amp\`ere equations on X assuming resolution and embedded resolution of singularities. We follow the variational approach of Boucksom, Favre, and Jonsson proving the continuity of the plurisubharmonic envelope of a continuous metric on an ample line bundle on X. We replace the use of multiplier ideals in equicharacteristic zero by the use of perturbation friendly test ideals introduced by Bhatt, Ma, Patakfalvi, Schwede, Tucker, Waldron, and Witaszek building upon previous constructions by Hacon, Lamarche, and Schwede.