Il est pratique de décrire les matériaux possédant une microstructure à l'aide de propriétés effectives homogènes. Lorsque le rapport η entre la taille de la microstructure et celle de la structure est très petit, des modèles effectifs peuvent être obtenus en appliquant une procédure d'homogénéisation. L'homogénéisation asymptotique, qui repose sur un développement des champs mécaniques en puissances du rapport η, est particulièrement adaptée pour traiter les microstructures périodiques. A l'ordre dominant, on retrouve les résultats de l'homogénéisation classique i.e. un milieu effectif de Cauchy. Les ordres suivants produisent des corrections qui dépendent des gradients de la déformation. Contrairement aux approches phénoménologiques, l'homogénéisation asymptotique permet d'identifier rigoureusement la solution microscopique associée au comportement effectif. De plus, les corrections d'ordre supérieur permettent d'améliorer la précision du modèle en tenant compte d'effets d'échelle. Ces effets sont significatifs lorsque le rapport d'échelle η n'est pas suffisamment petit ou en présence de raideurs microscopiques contrastées.Les corrections d'ordre supérieur issues de l'homogénéisation sont correctes en volume mais négligent des effets de bords, ce qui peut dégrader la qualité des prédictions. De plus, dans ces modèles d'ordre supérieur, l'ordre de l'équation d'équilibre est augmenté et de nouvelles conditions aux limites sont nécessaires. En mécanique des milieux continus, les conditions aux limites sont souvent obtenues en minimisant l'énergie du système. Pour les modèles d'ordre supérieur une telle énergie n'est pas disponible, ce qui rend l'identification de conditions aux limites particulièrement difficile.L'obtention d'une telle énergie présente plusieurs difficultés. D'abord, la raideur à gradient apparaissant dans ces modèles peut être non positive. En tronquant brutalement l'énergie de volume, on obtient donc une densité d'énergie élastique non positive. Cette propriété est très malvenue car elle conduit à des problèmes aux limites mal posés. Ensuite, afin de garantir la précision du modèle, il faut tenir compte de l'énergie générée par les couches limites. Celle-ci produit des termes de bord dans l'énergie qui peuvent, à leur tour, être non positifs.Dans ce travail, on aborde ces limitations et on identifie une telle énergie en 1D. On procède en deux étapes. D'abord, on combine homogénéisation asymptotique dans le volume et analyse des couches limites afin d'établir une approximation formelle de l'énergie microscopique, que l'on appelle pseudo-énergie. Cette pseudo-énergie contient un terme de volume et un terme de bord qui sont précis jusqu'à l'ordre η². De plus, on montre que les tractions d'ordre supérieur entrant dans le terme de bord vérifient des conditions de compatibilité garantissant que la pseudo-énergie puisse être rendue stationnaire ordre par ordre (perturbativement). À titre d'exemple, on traite un réseau de ressorts 1D avec second voisins. On prouve que les prédictions de ce modèle perturbatif sont asymptotiques à l'ordre η².Ensuite, on propose une nouvelle procédure qui transforme une telle pseudo-énergie en une énergie tronquée, dont la positivité est restaurée. Cette méthode s'appuie sur deux ingrédients. D'abord, on rétablit la positivité aux bords en transférant l'élasticité de bord dans un terme fantôme qui peut, par construction, être ignoré. Puis, on rétablit la positivité dans le volume en utilisant une troncature inspirée de la décomposition de Cholesky. L'énergie ainsi obtenue est positive et produit un problème aux limites bien posé. C'est l'énergie d'un milieu à gradients, formulée en termes d'une déformation généralisée. On montre, sur l'exemple des ressorts, que les prédictions de ce modèle coïncident avec celles du modèle perturbatif.Enfin, on étend notre étude en établissant la pseudo-énergie d'un stratifié continu. Dans ce cas, les raideurs aux bords sont calculées numériquement.