Manon Thbaut

It is convenient to describe materials possessing a microstructure using homogeneous effective properties. When the ratio η between the size of the microstructure and the size of the overall structure is very small, effective models can be obtained by applying a homogenization procedure. Asymptotic homogenization is particularly well-suited to treat periodic microstructures. This approach relies on an expansion of the mechanical fields in powers of the scale ratio η. At leading order, classical homogenization is recovered and a standard Cauchy medium is obtained. Next orders yield additional corrections, that depend on the successive strain gradients. By contrast with phenomenological approaches, asymptotic homogenization allows to rigorously identify the microscopic solution accounting for the effective behavior. Besides, the higher-order corrections permit to improve the accuracy of the model by capturing size-effects. These effects typically occur when the scale ratio η is not sufficiently small or when the microscopic constituents have contrasted stiffness properties. Although accurate in the bulk region, the higher-order corrections produced by homogenization still miss significant boundary effects, which can strongly degrade the quality of the predictions. Besides, in these higher-order models, the order of the equilibrium equation is increased and new boundary conditions are required. In continuum mechanics, boundary conditions are usually derived by minimizing the energy of the system. For higher-order models such an energy is missing, which makes the identification of appropriate boundary conditions particularly difficult. Deriving such an energy present several challenges. First, the strain-gradient stiffness appearing in these models can be non-positive. A raw truncation of the bulk energy therefore yields a non-positive strain energy density. This property is highly undesirable as it leads to ill-posed boundary-value problems. Secondly, in order to guarantee the accuracy of the model, one must account for the energy generated by the boundary layers. This produces boundary contributions to the energy, that can be non-positive as well. In this work, we tackle the limitations mentioned above and uncover such an energy in 1D. We proceed in two steps. First, we combine asymptotic homogenization in the bulk and a rigorous boundary layer analysis in order to derive a formal approximation of the microscopic energy, that we call a pseudo-energy. This pseudo-energy contains a bulk term and a boundary term that are accurate up to order η^2 included. Besides, we show that the higher-order forces entering the boundary term satisfy some compatibility conditions which guarantee that the pseudo-energy can be made stationary order by order (perturbatively). As an example, we treat a 1D spring network with next-nearest neighbor interaction. We demonstrate that the predictions of this perturbative model are asymptotically exact at order η^2. Next, we propose a new procedure that transforms such a pseudo-energy into a truncated energy, restoring positivity. Two key ingredients are involved in this procedure. First, we restore positivity on the boundaries by transferring the boundary elasticity into a ghost term which, by construction, can be ignored. Next, we restore positivity in the bulk by applying a truncation method inspired from Cholesky decomposition. As a result, the obtained effective energy is positive and produces a well-posed boundary-value problem variationally. The energy is of the strain-gradient type, and is formulated in terms of a generalized strain. We further show on the example of the spring network, that the predictions of the model coincide with that of the perturbative approach. Finally, as an extension, we derive the pseudo-energy of a continuous laminate. In that case, the effective stiffnesses on boundary need to be computed numerically. Keywords : linear elasticity, higher-order homogenization, variational approach, boundary effects, positive energy, asymptotic analysis

Il est pratique de décrire les matériaux possédant une microstructure à l'aide de propriétés effectives homogènes. Lorsque le rapport η entre la taille de la microstructure et celle de la structure est très petit, des modèles effectifs peuvent être obtenus en appliquant une procédure d'homogénéisation. L'homogénéisation asymptotique, qui repose sur un développement des champs mécaniques en puissances du rapport η, est particulièrement adaptée pour traiter les microstructures périodiques. A l'ordre dominant, on retrouve les résultats de l'homogénéisation classique i.e. un milieu effectif de Cauchy. Les ordres suivants produisent des corrections qui dépendent des gradients de la déformation. Contrairement aux approches phénoménologiques, l'homogénéisation asymptotique permet d'identifier rigoureusement la solution microscopique associée au comportement effectif. De plus, les corrections d'ordre supérieur permettent d'améliorer la précision du modèle en tenant compte d'effets d'échelle. Ces effets sont significatifs lorsque le rapport d'échelle η n'est pas suffisamment petit ou en présence de raideurs microscopiques contrastées.Les corrections d'ordre supérieur issues de l'homogénéisation sont correctes en volume mais négligent des effets de bords, ce qui peut dégrader la qualité des prédictions. De plus, dans ces modèles d'ordre supérieur, l'ordre de l'équation d'équilibre est augmenté et de nouvelles conditions aux limites sont nécessaires. En mécanique des milieux continus, les conditions aux limites sont souvent obtenues en minimisant l'énergie du système. Pour les modèles d'ordre supérieur une telle énergie n'est pas disponible, ce qui rend l'identification de conditions aux limites particulièrement difficile.L'obtention d'une telle énergie présente plusieurs difficultés. D'abord, la raideur à gradient apparaissant dans ces modèles peut être non positive. En tronquant brutalement l'énergie de volume, on obtient donc une densité d'énergie élastique non positive. Cette propriété est très malvenue car elle conduit à des problèmes aux limites mal posés. Ensuite, afin de garantir la précision du modèle, il faut tenir compte de l'énergie générée par les couches limites. Celle-ci produit des termes de bord dans l'énergie qui peuvent, à leur tour, être non positifs.Dans ce travail, on aborde ces limitations et on identifie une telle énergie en 1D. On procède en deux étapes. D'abord, on combine homogénéisation asymptotique dans le volume et analyse des couches limites afin d'établir une approximation formelle de l'énergie microscopique, que l'on appelle pseudo-énergie. Cette pseudo-énergie contient un terme de volume et un terme de bord qui sont précis jusqu'à l'ordre η². De plus, on montre que les tractions d'ordre supérieur entrant dans le terme de bord vérifient des conditions de compatibilité garantissant que la pseudo-énergie puisse être rendue stationnaire ordre par ordre (perturbativement). À titre d'exemple, on traite un réseau de ressorts 1D avec second voisins. On prouve que les prédictions de ce modèle perturbatif sont asymptotiques à l'ordre η².Ensuite, on propose une nouvelle procédure qui transforme une telle pseudo-énergie en une énergie tronquée, dont la positivité est restaurée. Cette méthode s'appuie sur deux ingrédients. D'abord, on rétablit la positivité aux bords en transférant l'élasticité de bord dans un terme fantôme qui peut, par construction, être ignoré. Puis, on rétablit la positivité dans le volume en utilisant une troncature inspirée de la décomposition de Cholesky. L'énergie ainsi obtenue est positive et produit un problème aux limites bien posé. C'est l'énergie d'un milieu à gradients, formulée en termes d'une déformation généralisée. On montre, sur l'exemple des ressorts, que les prédictions de ce modèle coïncident avec celles du modèle perturbatif.Enfin, on étend notre étude en établissant la pseudo-énergie d'un stratifié continu. Dans ce cas, les raideurs aux bords sont calculées numériquement.